Problema de Localización

Una empresa tiene la exclusiva para la distribución de un producto en 4 poblaciones. En un estudio de mercado se ha determinado la demanda potencial, según se muestra en la siguiente tabla:

Población 1	Población 2	Población 3	Población 4
3000 unidades	2000 unidades	2500 unidades	2700 unidades

Se sabe que los costes de transporte son de 0.02€ por Km y unidad transportada. La distancia en Km existente entre los pueblos es la que figura en la tabla siguiente:

	Población 1	Población 2	Población 3	Población 4
Población 1	-	25	35	40
Población 2	25	-	20	40
Población 3	35	20	-	30
Población 4	40	40	30	-

Para abaratar los costes de transporte se decide instalar un almacén con capacidad para 6000 unidades en dos de estas cuatro poblaciones. Determinar en qué poblaciones se deben instalar los almacenes.

Se determinan las variables de decisión, en este caso:

• Xij: cantidad enviada del almacén i a la población j
• Yi: almacén situado en la población i (0 indica que no hay ningún almacén y 1 que sí lo hay)

Se determinan las restricciones y se expresan como ecuaciones o inecuaciones de las variables de decisión. Dichas restricciones se deducen de la siguiente manera:

• Las unidades que se envían a cada población desde los almacenes deben cumplir con la demanda de dicha población:
  
  • X11 + X21 + X31 + X41 ≥ 3000
  • X12 + X22 + X32 + X42 ≥ 2000
  • X13 + X23 + X33 + X43 ≥ 2500
  • X14 + X24 + X34 + X44 ≥ 2700
• Solo se crearán dos almacenes:
  
  • Y1 + Y2 + Y3 + Y4 = 2
• La cantidad de unidades que puede enviar cada almacén debe ser menor o igual que la capacidad de éste:
  
  • X11 + X12 + X13 + X14 ≤ 6000·Y1
  • X21 + X22 + X23 + X24 ≤ 6000·Y2
  • X31 + X32 + X33 + X34 ≤ 6000·Y3
  • X41 + X42 + X43 + X44 ≤ 6000·Y4

Se expresan todas las condiciones implícitamente establecidas por la naturaleza de las variables: que no puedan ser negativas, que sean enteras, que solo puedan tomar determinados valores, ... En este caso las restricciones son que las unidades enviadas desde cada almacén no pueden ser negativas y además la variable que determina si se creará o no un almacén debe ser booleana (0 no se crea, 1 se crea):

• Xij ≥ 0
• Yi es booleano

Se determina la función objetivo:

• Minimizar Z = 0.5·X12 + 0.7·X13 + 0.8·X14 + 0.5·X21 + 0.4·X23 + 0.8·X24 + 0.7·X31 + 0.4·X32 + 0.6·X34 + 0.8·X41 + 0.8·X42 + 0.6·X43