miércoles, 17 de julio de 2013

Problema de la Dieta

El problema de la dieta fue uno de los primeros sobre optimización. Se trataba hallar la manera más económica de alimentar al ejercito pero asegurando al mismo tiempo unos determinados niveles nutricionales.

Este tipo de problema se puede plantear en distintas formas tales como minimizar los gastos de la compra, dieta para el ganado, una dieta adelgazante que cumpla unos determinados niveles de calorías, proteínas, hidratos de carbono, ....
 
Ejemplo
Nos proponemos alimentar el ganado de una granja con una dieta que sea la más económica posible. Dicha dieta debe contener cuatro tipos de nutrientes que llamamos A, B, C, y D. Estos componentes se encuentran en dos tipos de piensos M y N. La cantidad, en gramos, de cada componente por kilo de estos piensos viene dada en la tabla siguiente:
 ABCD
M100-100200
N-100200100
La dieta diaria de un animal debe estar compuesta por al menos 0.4Kg del componente A, 0.6Kg del componente B, 2Kg del componente C, y 1.7Kg del componente D. El compuesto M cuesta 0.2€/Kg y el compuesto N 0.08€/Kg. ¿Qué cantidades de piensos M y N deben adquirirse para que el gasto de comida sea el menor posible?

Se determinan las variables de decisión y se representan algebraicamente. En este caso:
  • X1: cantidad de pienso M en Kg
  • X2: cantidad de pienso N en Kg
Se determinan las restricciones y se expresan como ecuaciones o inecuaciones de las variables de decisión. Dichas restricciones se deducen de la composición requerida para la dieta diaria (en Kg):
  • En el componente A: 0.1·X1 + 0·X2 ≥ 0.4
  • En el componente B: 0·X1 + 0.1·X2 ≥ 0.6
  • En el componente C: 0.1·X1 + 0.2·X2 ≥ 2
  • En el componente D: 0.2·X1 + 0.1·X2 ≥ 1.7
Se expresan todas las condiciones implícitamente establecidas por la naturaleza de las variables: que no puedan ser negativas, que sean enteras, que solo puedan tomar determinados valores, ... En este caso, la única restricción es que las cantidades de pienso que forman la dieta no pueden ser negativas:
  • X1 ≥ 0
  • X2 ≥ 0
Se determina la función objetivo:
  • Minimizar Z = 0.2·X1 + 0.08·X2

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